Πού μπορώ να βρω δωρεάν ασκήσεις μαθηματικών για το Γυμνάσιο;

Στο sakisboudouridis.gr θα βρείτε δωρεάν ασκήσεις, θεωρία και βιντεομαθήματα για όλες τις τάξεις του Γυμνασίου στα Μαθηματικά, τη Φυσική και τη Χημεία.

Υπάρχει δωρεάν εκπαιδευτικό υλικό για τις Πανελλήνιες;

Ναι! Προσφέρουμε δωρεάν ύλη για τη Γ' Λυκείου σε Μαθηματικά, Φυσική και Χημεία, με ασκήσεις τύπου Πανελλαδικών και λυμένα παραδείγματα.

Κάνετε ιδιαίτερα μαθήματα online;

Ναι, προσφέρω ιδιαίτερα μαθήματα τόσο δια ζώσης στην Κέρκυρα όσο και online σε όλη την Ελλάδα. Επικοινωνήστε στο 6997131822.

Φυσική Α' Λυκείου

Κατακόρυφη Βολή

1. Θεωρία

Τι είναι η Κατακόρυφη Βολή προς τα Πάνω;

Κατακόρυφη βολή προς τα πάνω είναι η κίνηση ενός σώματος που:

Εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ₀
Κινείται υπό την επίδραση μόνο της βαρύτητας
Επιβραδύνεται καθώς ανεβαίνει (η g είναι αντίθετη της κίνησης)
Σταματά στιγμιαία στο μέγιστο ύψος (υ = 0)
Πέφτει πίσω με ελεύθερη πτώση

Οι Δύο Φάσεις της Κίνησης

Φάση Ανόδου

Κίνηση: Προς τα πάνω

Επιτάχυνση: α = -g (αντίθετη)

Ταχύτητα: Μειώνεται

Τέλος: υ = 0 στο h_max

Φάση Καθόδου

Κίνηση: Προς τα κάτω

Επιτάχυνση: α = +g (ομόρροπη)

Ταχύτητα: Αυξάνεται

Τέλος: υ = υ₀ στο έδαφος

Πολύ Σημαντικό

Στο μέγιστο ύψος: Η ταχύτητα μηδενίζεται (υ = 0), αλλά η επιτάχυνση παραμένει g = 10 m/s² (δεν μηδενίζεται ποτέ!).
Συμμετρία: Ο χρόνος ανόδου = χρόνος καθόδου. Η ταχύτητα επιστροφής = αρχική ταχύτητα.

2. Βασικοί Τύποι

Οι τύποι προκύπτουν από την ΕΟΜΚ με α = -g (αρνητική επιτάχυνση κατά την άνοδο):

1. Ταχύτητα σε χρόνο t

\(\upsilon = \upsilon_0 - g \cdot t\)

Η ταχύτητα μειώνεται κατά g κάθε δευτερόλεπτο (άνοδος)

2. Ύψος σε χρόνο t

\(h = \upsilon_0 \cdot t - \tfrac{1}{2} g \cdot t^2\)

Το ύψος του σώματος από το σημείο εκτόξευσης

3. Μέγιστο Ύψος

\(h_{\max} = \frac{\upsilon_0^2}{2g}\)

Το μέγιστο ύψος που φτάνει το σώμα (όταν υ = 0)

4. Χρόνος Ανόδου

\(t_{\text{άνοδος}} = \frac{\upsilon_0}{g}\)

Χρόνος μέχρι να φτάσει στο μέγιστο ύψος

5. Συνολικός Χρόνος Πτήσης

\(t_{\text{ολικός}} = \frac{2 \upsilon_0}{g} = 2 \cdot t_{\text{άνοδος}}\)

Χρόνος μέχρι να επιστρέψει στο σημείο εκτόξευσης

3. Διαγράμματα

Διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου (υ-t)

Ευθεία γραμμή με αρνητική κλίση (-g)
Ξεκινά από υ₀ (θετική τιμή)
Περνά από το μηδέν τη στιγμή t_άνοδος (μέγιστο ύψος)
Συνεχίζει σε αρνητικές τιμές (κάθοδος)
Τέλος στο -υ₀ (επιστροφή στο έδαφος)

Διάγραμμα ύψους-χρόνου (h-t)

Παραβολή με τα κοίλα προς τα κάτω
Ξεκινά από h = 0
Μέγιστο στη στιγμή t_άνοδος
Επιστρέφει στο h = 0 τη στιγμή t_ολικός

Διάγραμμα επιτάχυνσης-χρόνου (a-t)

Οριζόντια ευθεία στο -g = -10 m/s²
Η επιτάχυνση είναι σταθερή και αρνητική σε όλη τη διάρκεια

4. Λυμένα Παραδείγματα

Παράδειγμα 1: Μέγιστο ύψος

Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα υ₀ = 20 m/s. Να βρεθεί το μέγιστο ύψος που φτάνει.

Λύση

Δεδομένα: υ₀ = 20 m/s, g = 10 m/s²

Ζητούμενο: h_max = ;

Λύση: Από τον τύπο h_max = υ₀² / (2g)
h_max = 20² / (2 · 10) = 400 / 20 = 20 m

Απάντηση: Το μέγιστο ύψος είναι 20 m

Παράδειγμα 2: Χρόνος ανόδου και ολικός χρόνος

Σώμα εκτοξεύεται με υ₀ = 30 m/s. Να βρεθεί: α) ο χρόνος ανόδου, β) ο συνολικός χρόνος πτήσης.

Λύση

Δεδομένα: υ₀ = 30 m/s, g = 10 m/s²

α) Χρόνος ανόδου: t = υ₀ / g = 30 / 10 = 3 s

β) Ολικός χρόνος: t_ολ = 2 · t = 2 · 3 = 6 s

Απάντηση: α) t_άνοδος = 3 s, β) t_ολικός = 6 s

Παράδειγμα 3: Ύψος και ταχύτητα σε χρόνο t

Σώμα εκτοξεύεται με υ₀ = 40 m/s. Να βρεθεί η ταχύτητα και το ύψος μετά από 2 s.

Λύση

Δεδομένα: υ₀ = 40 m/s, t = 2 s, g = 10 m/s²

Ταχύτητα: υ = υ₀ - g·t = 40 - 10·2 = 20 m/s

Ύψος: h = υ₀·t - ½·g·t² = 40·2 - 5·4 = 80 - 20 = 60 m

Απάντηση: υ = 20 m/s, h = 60 m

Παράδειγμα 4: Υπολογισμός αρχικής ταχύτητας

Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα και φτάνει σε μέγιστο ύψος 45 m. Με ποια αρχική ταχύτητα εκτοξεύτηκε;

Λύση

Δεδομένα: h_max = 45 m, g = 10 m/s²

Λύση: Από h_max = υ₀² / (2g)
45 = υ₀² / 20
υ₀² = 900
υ₀ = 30 m/s

Απάντηση: Η αρχική ταχύτητα ήταν 30 m/s

5. Ασκήσεις για Εξάσκηση

Άσκηση 1

Μπάλα εκτοξεύεται κατακόρυφα προς τα πάνω με υ₀ = 25 m/s.

α) Ποιο είναι το μέγιστο ύψος;

β) Σε πόσο χρόνο φτάνει στο μέγιστο ύψος;

γ) Ποιος είναι ο συνολικός χρόνος πτήσης;

Λύση

Απαντήσεις: α) h_max = 31,25 m, β) t = 2,5 s, γ) t_ολ = 5 s

Άσκηση 2

Σώμα εκτοξεύεται με υ₀ = 50 m/s κατακόρυφα προς τα πάνω.

α) Ποια είναι η ταχύτητα μετά από 3 s;

β) Σε ποιο ύψος βρίσκεται τη στιγμή αυτή;

γ) Πόσο χρόνο χρειάζεται για να φτάσει στα 80 m;

Λύση

Απαντήσεις: α) υ = 20 m/s, β) h = 105 m, γ) t = 2 s

Άσκηση 3

Ένα σώμα εκτοξεύεται κατακόρυφα και επιστρέφει στο έδαφος μετά από 8 s.

α) Ποια ήταν η αρχική ταχύτητα;

β) Ποιο ήταν το μέγιστο ύψος;

Λύση

Απαντήσεις: α) υ₀ = 40 m/s, β) h_max = 80 m

Άσκηση 4

Δύο σώματα Α και Β εκτοξεύονται ταυτόχρονα από το έδαφος. Το Α με υ₀ = 20 m/s και το Β με υ₀ = 30 m/s.

α) Σε ποια ύψη φτάνουν;

β) Ποια η διαφορά των μέγιστων υψών;

Λύση

Απαντήσεις: α) h_A = 20 m, h_B = 45 m, β) Διαφορά = 25 m

Σύνοψη - Τι να Θυμάμαι

Κατακόρυφη βολή: Εκτόξευση με υ₀ ≠ 0, επιτάχυνση α = -g
Στο μέγιστο ύψος: υ = 0 (αλλά g ≠ 0!)
Μέγιστο ύψος: h_max = υ₀² / (2g)
Χρόνος ανόδου: t = υ₀ / g
Ολικός χρόνος: t_ολ = 2 · υ₀ / g
Συμμετρία: t_άνοδος = t_κάθοδος
Ταχύτητα επιστροφής: ίση με την αρχική (υ = υ₀)
Διάγραμμα υ-t: ευθεία με κλίση -g

Κατακόρυφη Βολή

1. Θεωρία

Τι είναι η Κατακόρυφη Βολή προς τα Πάνω;

Οι Δύο Φάσεις της Κίνησης

2. Βασικοί Τύποι

1. Ταχύτητα σε χρόνο t

2. Ύψος σε χρόνο t

3. Μέγιστο Ύψος

4. Χρόνος Ανόδου

5. Συνολικός Χρόνος Πτήσης

3. Διαγράμματα

Διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου (υ-t)

Διάγραμμα ύψους-χρόνου (h-t)

Διάγραμμα επιτάχυνσης-χρόνου (a-t)

4. Λυμένα Παραδείγματα

5. Ασκήσεις για Εξάσκηση

Σύνοψη - Τι να Θυμάμαι

Σχετικά Μαθήματα

Ελεύθερη Πτώση

ΕΟΜΚ

ΕΟΚ